Primzahlen

Heute möchte ich einen kurzen Beitrag über die „Atome“ unserer Zahlen schreiben: Primzahlen. Primzahlen sind jene Zahlen, die genau durch zwei Zahlen ohne Rest teilbar sind – nämlich durch $1$ und durch sich selbst. Beispielsweise ist die Zahl $17$ eine Primzahl, weil sie nur durch $1$ und $17$ ohne Rest teilbar ist. Die Zahl $42$ hingegen ist keine Primzahl, weil sie neben $1$ und $42$ beispielsweise auch noch die Teiler $2$, $3$ und $7$ hat. Die ersten paar Primzahlen sind \begin{equation} 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\ldots \end{equation} Wie bereits erwähnt, werden Primzahlen oft als die „Atome“ der natürlichen Zahlen bezeichnet, weil jede natürliche Zahl als Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann: $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$.

Im Laufe der Zeit stellten sich Mathematiker*innen viele Fragen rund um die Eigenschaften von Primzahlen. Auf manche dieser Fragen fand man sehr schöne und zufriedenstellende Antworten (zum Beispiel die Unendlichkeit der Primzahlen oder der Primzahl-Satz über die Häufigkeit von Primzahlen). In den letzten Jahrzenten gewannen Primzahlen auch an praktischer Bedeutung und begleiten die meisten von uns sogar ständig im Alltag: Sie spielen eine zentrale Rolle bei der Verschlüsselung und sicheren Übermittlung von Nachrichten.

Obwohl das Konzept der Primzahlen recht einfach und elementar wirkt, ist diese Klasse von Zahlen integraler Bestandteil von einigen der bekanntesten und schwierigsten mathematischen Probleme unserer Zeit (zum Beispiel die Vermutung über Primzahlzwillinge oder die Riemann’sche Vermutung, die auch mit Primzahlen zusammenhängt). Primzahlen stellen also nach wie vor ein gewisses Mysterium für Mathematiker*innen dar. Der berühmte Mathematiker Paul Erdős sagte einst sehr treffend: „Gott würfelt vielleicht nicht mit dem Universum, aber mit den Primzahlen hat es schon etwas Seltsames auf sich” – und spielt damit auf den wohlbekannten Ausspruch von Albert Einstein an.

„Ziffern-empfindliche“ Primzahlen

Aber eigentlich wollte ich ja über neueste Erkenntnisse über eine sehr spezielle Klasse von Primzahlen schreiben: sogenannte Ziffern-empfindliche Primzahlen (digitally delicate primes). Das sind Primzahlen, bei denen man keine Ziffer so verändern kann, dass die Zahl danach noch immer eine Primzahl ist. Die Zahl $294001$ ist das kleinste Beispiel so einer Ziffern-empfindlichen Zahl: Sie ist selbst eine Primzahl, aber wenn wir eine Ziffer verändern – sagen wir, die $9$ wird eine $7$ – dann ist die resultierende Zahl $274001$ keine Primzahl mehr. (Andererseits ist $191$ keine Ziffern-empflindliche Primzahl, weil wir die $9$ zu einer $8$ ändern können und die resultierende Zahl $181$ ist noch immer prim.) Obwohl die kleinste dieser Zahlen (also $294001$) relativ groß ist, bewies Paul Erdős vor vielen Jahren, dass es unendliche viele dieser Ziffern-empfindlichen Primzahlen gibt. Die ersten paar dieser Zahlen sind unter A050249 in der Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen OEIS gelistet.

Die beiden Mathematiker Michael Filaseta und Jeremiah Southwick zeigten kürzlich, dass es unendlich viele Zahlen einer noch sehr viel spezielleren Art gibt [1]. Sie nennen eine natürliche Zahl weit Ziffern-empfindlich, wenn man nach dem Hinzufügen von unendlich vielen führenden Nullen noch immer eine beliebige ihrer (jetzt unendlich vielen) Ziffern verändern kann und die resultierende Primzahl jedenfalls keine Primzahl ist. Das müsst ihr euch vorstellen: Ihr hab unendlich viele Möglichkeiten eine Ziffer zu verändern, und egal, für welche diesere unendlich vielen Möglichkeiten ihr euch entscheidet, die resultierende Zahl wird garantiert keine Primzahl sein. Und Filaseta und Southwick haben jetzt gezeigt, dass es unendlich viele solcher Zahlen gibt – obwohl noch nie jemand eine gefunden hat!

Beeindruckt? Mehr Details und Beispiele findet ihr im sehr spannenden (aber leider nur auf Englisch verfügbaren) Artikel des Quanta Magazins!

Referenzen

1. [1] M. Filaseta, J. Southwick, Primes that become composite after changing an arbitrary digit, Math. Comp. 90 (2021) 979–993. https://doi.org/10.1090/mcom/3593.

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